Codeforces Round #318 [RussianCodeCup Thanks-Round] (Div. 1) B. Bear and Blocks

いや〜この問題好きですわ。

問題

codeforces.com

解法

問題の特徴を観察してみます。

まず, 両端のブロックは必ず消えます(問題の本質とは関係ないですが, このことより (N+1)/2 ターン以内にすべての tower が消滅することがわかります)。

もうちょっと一般的に考えると, 要するにある tower の両端のどちらか一方が消滅していれば, 次のターンにその tower は消えるということです。
また, 各ターンに tower の一番上のブロックは消えます。よって, tower の高さを h とすると, その tower はたかだか h ターン以内に消えることになります。

以上の観察を合わせると, 要するに tower は
・隣の tower が消滅した次のターンに消える
・高さが毎ターン減っていくことによって消える
のどちらかのうち短い方で消えることになります。これは, 最短距離問題に帰着できます。

具体的には(スタート地点を s として),
・s から各ノード i に高さ h_i のコストの辺を加える
・各ノード i に隣り合うノード(i+1, i-1) からコスト 1 の辺を加える
これで dijkstra 法を使って最短距離を求め, その最短距離の最大値が答えです。

const int MAXN = 100010;
const int INF = 1e8;
int N;
int H[MAXN];
vector<int> rH[MAXN];
int memo[MAXN];

struct edge {
    int v;
    ll w;
    edge() {}
    edge(int v, ll w) : v(v), w(w) {};
};

vector<ll> dijkstra(int n, vector<vector<edge> >& G, int s) {
    vector<ll> d(n, LLONG_MAX/10); d[s] = 0;
    priority_queue<pair<ll, int> > que;
    que.push(make_pair(0ll, s));
    while (!que.empty()) {
        auto p = que.top(); que.pop();
        int u = p.second;
        ll dist = -p.first;
        if (dist > d[u]) continue;
        for (edge e : G[u]) {
            if (d[e.v] > d[u]+e.w) {
                d[e.v] = d[u] + e.w;
                que.push(make_pair(-d[e.v], e.v));
            }
        }
    }
    return d;
}

vector<vector<edge> > G;

int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> N;
    G.resize(N+1);
    int s = N;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> H[i];
        G[s].emplace_back(i, H[i]);
        G[s].emplace_back(i, min(i+1, N-i));
    }
    for (int i = 0; i < N-1; i++) {
        G[i].emplace_back(i+1, 1);
        G[i+1].emplace_back(i, 1);
    }
    auto d = dijkstra(N+1, G, s);
    ll ans = 0;
    for (ll el : d) {
        ans = max(ans, el);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}