Good Bye 2015 D. New Year and Ancient Prophecy
解法
問題設定がこの問題に非常に似ています。
mayokoex.hatenablog.com
まず大雑把に解法を説明します。
dp[i][j] = (i 番目までの数を分割した時, 最後の数は j 桁であるような場合の数) とします。また,
dpSum[i][j] = (i 番目までの数を分割した時, 最後の数は j 桁以下であるような場合の数) とします。
すると, dp[i][j] は以下のようにして求められます。
最後の数は j 桁なので, 最後の数は i-j 個目の数から始まっています。もし i-j 番目の数字が 0 だったら, leading zero はダメの法則に反するので, dp[i][j] = 0 です。
pi = i-2*j とすると, これは最後の数の一つ前の数が始まる可能性のある最も 0 に近い index を表します。
もし pi < 0 なら, 最後の数の一つ前の数は最後の数よりも桁が小さいので, 絶対に最後の数のほうが大きいです。この場合は, dp[i][j] = dpSum[i-j][j] で終わりです。
pi >= 0 の場合は, pi から始まる j 桁の数と, i-j から始まる j 桁の数でどちらが大きいかを比較します。もし後者の方が大きいなら, 最後の数の一つ前の数は j 桁であっても良いので, dp[i][j] = dpSum[i-j][j] です。そうでない場合は, 最後の数の一つ前の数は j 桁であっては困るので, dp[i][j] = dpSum[i-j][j-1] です。
最後に, dpSum[i][j] は dp[i][j] の各値から dpSum[i] は O(n) で計算できます。
ここで問題なのは, 「pi から始まる j 桁の数と, i-j から始まる j 桁の数でどちらが大きいかを比較」するところです。ここで O(n) の計算量がかかると, 全体の計算量が O(n^3) となり死にます。
ここを O(1) で計算したいです。そこで役に立つのが SA を使った lcp の計算です。冒頭に載せた問題と同様に, lcp を使って値の比較をすると, O(1) で数の比較ができるので, O(n^2) で答えを得られます。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <stdio.h> #include <algorithm> #include <string.h> #include<iostream> using namespace std; #define FOR(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++) typedef long long ll; typedef vector<int> vi; typedef vector<ll> vll; typedef pair<int, int> pii; #define REP(i,b) FOR(i,0,b) const int Nmax = 5555; int bucket[Nmax]; template <class T> void CreateBeginBucket(T* data, int size, int maxVal){ REP(i, maxVal + 1) bucket[i] = 0; REP(i, size) bucket[data[i]]++; int sum = 0; REP(i, maxVal + 1){ bucket[i] += sum; swap(bucket[i], sum); } } template <class T> void CreateEndBucket(T* data, int size, int maxVal){ REP(i, maxVal + 1) bucket[i] = 0; REP(i, size) bucket[data[i]]++; int sum = 0; REP(i, maxVal + 1){ sum += bucket[i]; bucket[i] = sum; } } template<class T> void InducedSort(T* data, int size, int* SA, int maxVal, bool* isL){ CreateBeginBucket(data, size, maxVal); REP(i, size) if (SA[i] > 0 && isL[SA[i] - 1]) SA[bucket[data[SA[i] - 1]]++] = SA[i] - 1; } template<class T> void InvertInducedSort(T* data, int size, int* SA, int maxVal, bool* isL){ CreateEndBucket(data, size, maxVal); for (int i = size - 1; i >= 0; --i) if (SA[i] > 0 && !isL[SA[i] - 1]) SA[--bucket[data[SA[i] - 1]]] = SA[i] - 1; } template <class T> void DBGOUT(T* sa, int size){ REP(i, size) printf("%d ", int(sa[i])); printf("\n"); } template<class T> void SA_IS(T* data, int size, int* SA, int maxVal, bool* isL){ REP(i, size) SA[i] = -1; #define isLMS(x) (x>0 && isL[x-1] && !isL[x]) isL[size - 1] = false; for (int i = size - 2; i >= 0; i--) isL[i] = data[i] > data[i + 1] || (data[i] == data[i + 1] && isL[i + 1]); CreateEndBucket(data, size, maxVal); FOR(i, 1, size) if (isLMS(i)) SA[--bucket[data[i]]] = i; InducedSort(data, size, SA, maxVal, isL); InvertInducedSort(data, size, SA, maxVal, isL); int c = 0; REP(i, size) if (isLMS(SA[i])) SA[c++] = SA[i]; FOR(i, c, size) SA[i] = -1; int idx = -1; int prev = -1; REP(i, c){ bool diff = false; REP(d, size){ if (prev == -1 || data[SA[i] + d] != data[prev + d] || isL[SA[i] + d] != isL[prev + d]){ diff = true; break; } else if (d > 0 && isLMS(SA[i] + d)) break; } if (diff){ idx++; prev = SA[i]; } SA[c + SA[i] / 2] = idx; } int j = size; for (int i = size - 1; i >= c; i--) if (SA[i] >= 0) SA[--j] = SA[i]; int* nxdata = SA + size - c; int* nxsa = SA; if (c == idx + 1) REP(i, c) nxsa[nxdata[i]] = i; else SA_IS(nxdata, c, nxsa, idx, isL + size); j = c; for (int i = size - 1; i >= 1; i--) if (isLMS(i)) nxdata[--j] = i; REP(i, c) nxsa[i] = nxdata[nxsa[i]]; FOR(i, c, size) SA[i] = -1; CreateEndBucket(data, size, maxVal); for (int i = c - 1; i >= 0; i--) swap(nxsa[i], SA[--bucket[data[nxsa[i]]]]); InducedSort(data, size, SA, maxVal, isL); InvertInducedSort(data, size, SA, maxVal, isL); } // SA_IS // input: 対象となる文字列 // size : 文字列の長さ // SA : 返される suffix array bool isLPool[Nmax * 2]; void SA_IS(unsigned char* input, int size, int* SA){ int mv = 0; REP(i, size) if (mv < input[i]) mv = input[i]; SA_IS(input, size, SA, mv, isLPool); } // CreateLCP // data: 対象となる文字列 // size: 文字列の長さ // SA : dataの suffix array の情報 // lcp という配列に情報が保存される int lcp[Nmax]; int invertSA[Nmax]; void CreateLCP(unsigned char* data, int size, int* SA){ lcp[0] = -1; REP(i, size) invertSA[SA[i]] = i; int prev = 0; REP(i, size){ if (invertSA[i] > 0){ while (data[i + prev] == data[SA[invertSA[i] - 1] + prev]){ ++prev; if (i + prev >= size || SA[invertSA[i] - 1] + prev >= size) break; } lcp[invertSA[i]] = prev; } prev = max(prev - 1, 0); } } int st[21][Nmax]; void InitSparseTable(int n){ int h = 1; while ((1 << h) < n) h++; REP(i, n) st[0][i] = lcp[i]; FOR(j, 1, h + 1){ REP(i, n - (1<<j) + 1){ st[j][i] = min(st[j - 1][i], st[j - 1][i + (1 << (j - 1))]); } } } inline int TopBit(int t){ for (int i = 20; i >= 0; i--){ if ((1 << i)&t) return i; } return -1; } int GetLCP(int f, int s){ if (f > s) swap(f, s); int diff = TopBit(s-f); return min(st[diff][f], st[diff][s - (1 << diff)]); } unsigned char str[Nmax]; int indices[Nmax]; int compare(int f, int s, int l){ int fi = invertSA[f]; int si = invertSA[s]; if (GetLCP(fi + 1, si + 1) >= l) return 0; else return 2 * (fi > si) - 1; } ll dp[Nmax][Nmax]; ll dpSum[Nmax][Nmax]; int main() { const ll MOD = 1e9+7; int n; scanf("%d", &n); scanf("%s", str); SA_IS(str, n + 1, indices); CreateLCP(str, n + 1, indices); InitSparseTable(n + 1); dp[0][0] = 1; for (int i = 0; i <= n; i++) dpSum[0][i] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= i; j++) { if (str[i-j] == '0') continue; int ni = i-2*j; if (ni < 0) { dp[i][j] = dpSum[i-j][j]; continue; } if (compare(ni, i-j, j) < 0) { dp[i][j] = dpSum[i-j][j]; } else { dp[i][j] = dpSum[i-j][j-1]; } } dpSum[i][0] = dp[i][0]; for (int j = 1; j <= n; j++) { dpSum[i][j] = dpSum[i][j-1] + dp[i][j]; dpSum[i][j] %= MOD; } } cout << dpSum[n][n] << endl; return 0; }