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mayoko’s diary

プロコンとかいろいろ。

yukicoder No.344 ある無理数の累乗

yukicoder
解法

r3 = sqrt(3) とします。

(1+r3)^n と (1-r3)^n を足し算すると整数になります。

また, この整数部分は, (1+r3)^n の整数部分の 2 倍と一致し, (1-r3)^n 部分は, 絶対値が常に 1 未満で,

  • n が奇数の時は (1-r3)^n は負
  • n が偶数の時は (1-r3)^n は正

となります。よって, 単純に (1+r3)^n の整数部分を行列累乗で求めて, n の偶奇にしたがってちょびっと調整すれば良いです。

蟻本の p239 にほとんど同じ問題があったらしい。

typedef long long number;
typedef vector<number> vec;
typedef vector<vec> matrix;

const ll MOD = 1000;

// O( n )
matrix identity(int n) {
    matrix A(n, vec(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i) A[i][i] = 1;
    return A;
}
// O( n^3 )
matrix mul(const matrix &A, const matrix &B) {
    matrix C(A.size(), vec(B[0].size()));
    for (int i = 0; i < (int)C.size(); ++i)
        for (int j = 0; j < (int)C[i].size(); ++j)
            for (int k = 0; k < (int)A[i].size(); ++k) {
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
                C[i][j] %= MOD;
            }
    return C;
}
// O( n^3 log e )
matrix pow(const matrix &A, ll e) {
    if (e == 0) return identity(A.size());
    if (e == 1) return A;
    if (e % 2 == 0) {
        matrix tmp = pow(A, e/2);
        return mul(tmp, tmp);
    } else {
        matrix tmp = pow(A, e-1);
        return mul(A, tmp);
    }
}

int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin >> n;
    matrix mat(2, vec(2));
    mat[0][0] = 1;
    mat[0][1] = 3;
    mat[1][0] = 1;
    mat[1][1] = 1;
    mat = pow(mat, n);
    ll ans = mat[0][0]*2;
    if (n%2 == 0) ans = (ans-1+MOD);
    cout << ans%MOD << endl;
    return 0;
}