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mayoko’s diary

プロコンとかいろいろ。

AOJ 2296 Quest of Merchant

Merchant, かわいい(小並感)

解法

すごく複雑そうな問題に見えますが, 落ち着いて問題を分解すると一個一個は大したことありません。

まず, 1 回の出張で訪れる町の集合がわかったら, その町の集合へ訪れる最短時間は巡回セールスマン問題を解けば簡単にわかります。また, 訪れる町の集合がわかると, 買うことのできるアイテム, およびそのアイテムを買うために必要な値段の最小値がわかります。ゆえに, そのアイテムの集合の中で得られる最大利益を計算できます。

これらを計算すると, dp[t] = (t の時間を消費して得ることのできる利益の最大値)という dp が普通にできます。普通に遷移を考えるとこの dp には O(T^2) かかるような気がしますが, 町への訪れ方は 2^N 通りしかないので, 各状態の遷移の仕方も 2^N 通りしかありません。よって十分時間内に答えが求められます。

int N, M, W, T;
const int MAX = 8;
const int MAXW = 11111;
string S[MAX];
int V[MAX], P[MAX];
int X[MAX], Y[MAX], L[MAX];
int R[MAX][MAX], Q[MAX][MAX];
ll dp[MAXW];

const int INF = 1e9;
int minTime[1 << MAX];
namespace TSP {
	int dp[1 << MAX][MAX];
	int dfs(int state, int now, int all) {
		int& ret = dp[state][now];
		if (ret >= 0) return ret;
		ret = INF;
		if (state == all) return ret = abs(X[now]) + abs(Y[now]);
		for (int i = 0; i < N; i++) if ((all >> i) & 1) {
			if ((state >> i) & 1) continue;
			ret = min(ret, abs(X[now] - X[i]) + abs(Y[now] - Y[i]) + dfs(state | (1 << i), i, all));
		}
		return ret;
	}
}

int best[1 << MAX];
namespace Item {
	ll dp[MAXW];
	ll calc(int state, int M, int W, vi costs) {
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for (int i = 0; i < M; i++) {
			if ((state>>i)&1) {
				for (int j = 0; j+V[i] <= W; j++) {
					dp[j+V[i]] = max(dp[j+V[i]], dp[j] + P[i]-costs[i]);
				}
			}
		}
		ll ans = 0;
		for (int i = 0; i <= W; i++)
			ans = max(ans, dp[i]);
		return ans;
	}
}

int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> N >> M >> W >> T;
	for (int i = 0; i < M; i++) {
		cin >> S[i] >> V[i] >> P[i];
	}
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		cin >> L[i] >> X[i] >> Y[i];
		for (int j = 0; j < L[i]; j++) {
			string s;
			cin >> s >> Q[i][j];
			for (int k = 0; k < M; k++) {
				if (S[k] == s) R[i][j] = k;
			}
		}
	}
	// ある集合の町を訪れる際に必要な時間の最小値をすべて求める
	for (int s = 1; s < 1 << N; s++) {
		memset(TSP::dp, -1, sizeof(TSP::dp));
		int mini = INF;
		for (int i = 0; i < N; i++) if ((s >> i) & 1) {
			mini = min(mini, abs(X[i]) + abs(Y[i]) + TSP::dfs(1 << i, i, s));
		}
		minTime[s] = mini;
	}
	map<int, ll> mp;
	for (int s = 1; s < 1<<N; s++) {
		if (minTime[s] > T) continue;
		// この町の訪れ方で得られるアイテムの集合
		int item = 0;
		vector<int> unko(M, INF);
		for (int j = 0; j < N; j++) if ((s>>j)&1) {
			for (int k = 0; k < L[j]; k++) {
				int l = R[j][k];
				item |= 1<<l;
				unko[l] = min(unko[l], Q[j][k]);
			}
		}
		ll tmp = Item::calc(item, M, W, unko);
		//cout << s << " " << tmp << endl;
		mp[minTime[s]] = max(mp[minTime[s]], tmp);
	}
	// dp
	for (int i = 0; i <= T; i++) {
		for (auto p : mp) {
			if (i+p.first <= T) {
				dp[i+p.first] = max(dp[i+p.first], dp[i] + p.second);
			}
		}
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= T; i++)
		ans = max(ans, dp[i]);
	cout << ans << endl;
    return 0;
}