yukicoder No.209 Longest Mountain Subsequence

見た目から動的計画法だろうと思ったけど出題時は☆2で,「もっと簡単な方法があるのかなぁ」とか悩んでしまった。

問題

No.209 Longest Mountain Subsequence - yukicoder

解法

問題設定がちょっと複雑だが,とりあえずという方から考える。
dp[cur][pre] := (curまでの座標を見たとき,直前に利用した座標がpreであって条件を満たす最長の数列の長さ)
とする。ただし,cur == preのときはまだ直前の座標は存在せず一つの数で構成される数列と考える。

このとき,まず基本的なケースとして

dp[i][i] = 1 (一つの数で構成される数列は長さが1)

が得られる。また,dp[i][j]がわかっている時,次の座標k( > i)はどのように決定されるかというと,

dp[k][i] = max(dp[i][j] + 1)(0 <= i < k, 0 <= j <= i, 整数の組(j, i, k)は不等式を満たす)

というように決定することが出来る。これを用いてdpを構成していくことによってとりあえず一丁あがりです。

次にの方を考える。これも上とほとんど同じやり方でdpを構成できる(上のやり方を逆走していくイメージ)。こっちの方はdp2とします。

これらを用いて答えを求める。これは,真ん中の数をiとした時,dp[i][j] + dp2[i][k]が最大になるようなものを各iについて求め,その最大値を取れば良い。なおこれはdpとdp2でi番目の数を両方のdpでカウントしてしまっているので1マイナスしなければならないことに注意。

以下ソースコード

const int MAXN = 111;
int A[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int dp2[MAXN][MAXN];

int solve(int n) {
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    for (int i = 0; i < n; i++) dp[i][i] = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            for (int k = i+1; k < n; k++) {
                if (A[k]-A[i] > 0 && A[k]-A[i] > A[i]-A[j]) {
                    dp[k][i] = max(dp[k][i], dp[i][j] + 1);
                }
            }
        }
    }
    memset(dp2, -1, sizeof(dp2));
    for (int i = 0; i < n; i++) dp2[i][i] = 1;
    for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
        for (int j = n-1; j >= i; j--) {
            for (int k = i-1; k >= 0; k--) {
                if (A[k]-A[i] > 0 && abs(A[k]-A[i]) > abs(A[i]-A[j])) {
                    dp2[k][i] = max(dp2[k][i], dp2[i][j] + 1);
                }
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            for (int k = i; k < n; k++) {
                ans = max(ans, dp[i][j] + dp2[i][k]);
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int N;
        cin >> N;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            cin >> A[i];
        }
        cout << solve(N)-1 << endl;
    }
    return 0;
}