yukicoder No.270 next_permutation (1)
勉強になりました。
解法
next_permutation の実装で, swap されるものをメモしておいて, 変化した分を適当に足しこんでいけば良いです。
next_permutation の実装は以下を参考にしましょう。英語ですがそんなに難しくないです。
Permutation - Wikipedia, the free encyclopedia
ところで, next_permutation のならし計算量が O(1) というのがよくわからなかったのでちょっと考えてみました(言ってることが正しいのかはよくわかりません)。
とりあえずソースコードの my_next_permutation() を読みます。
計算量が少なくなる理由は, 「ソース内の k がほとんど n-2 付近に固まるから」だと思います。
例えば 1 2 3 4 という数列を考えます。この時, 一番最初の 1 が 2 に入れ替わるのは, 6 回目の next_permutation の時ですよね。要するに k が一番深くなって(k = 0)計算量が O(N) になるのは, 6 回に 1 回ということです。
これを一般的に言うと, 深さが p のところ(k=n-p となる)をいじる回数は (n-p-1)! に 1 回になるということです(±1 とかはずれてるかもです)。
つまり, next_permutation の n! 回の施行では,
計算を n 回しているようなもの: (n-1)! 回に 1 回
計算を n-1 回しているようなもの: (n-2)! 回に 1 回
計算を n-2 回しているようなもの: (n-3)! 回に 1 回
...
計算を 1 回しているようなもの: 1! 回に 1 回
ぐらいの回数計算しているということですね。よって, ならし計算量は
n/(n-1)! + (n-1)/(n-2)! + ... + 2/1! + 1/0!
みたいな感じになると考えられます。アバウトに考えるとこれは
n/n! + (n-1)/(n-1)! + ... + 1/1! = 1/(n-1)! + 1/(n-2)! + ... + 1/2! + 1/1!
です。一般に (n-1)! >= 2^n なので, これは収束します。よって, ならし計算量は O(1) になるんじゃないでしょうか。
ただ anta さんの解説によると N 回のならし計算量も O(1) になるとの事なので, これだと(この考えが正しいとしても)不十分です(ここで言ってるのは N! 回のならし計算量が O(1) ということなので)。うーん…
bool my_next_permutation(const vector<int>& p, vector<pii>& swaps) { swaps.clear(); int n = p.size(); int k = n-2; for (; p[k] >= p[k+1] && k >= 0; k--); if (k >= 0) { int l = n-1; for (; p[l] < p[k]; l--); swaps.emplace_back(k, l); } int low = k+1, high = n-1; while (low < high) { swaps.emplace_back(low++, high--); } return k >= 0; } int main() { cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false); int N, K; cin >> N >> K; vector<int> p(N), B(N); for (int i = 0; i < N; i++) cin >> p[i]; for (int i = 0; i < N; i++) cin >> B[i]; vector<pii> swaps; ll ans = 0, now = 0; for (int i = 0; i < N; i++) { ans += abs(p[i]-B[i]); } now = ans; if (K == 0) { cout << 0 << endl; return 0; } K--; while (K--) { my_next_permutation(p, swaps); for (pii pp : swaps) { now -= abs(p[pp.first] - B[pp.first]); now -= abs(p[pp.second] - B[pp.second]); swap(p[pp.first], p[pp.second]); now += abs(p[pp.first] - B[pp.first]); now += abs(p[pp.second] - B[pp.second]); } ans += now; } cout << ans << endl; return 0; }