AOJ 2224 Save your cats

問題

Save your cats | Aizu Online Judge

N 頂点, M 辺の平面グラフが与えられる。平面グラフの面の数が 1 になるように辺を破壊したい。これを達成する最小コストを求めよ。

解法

下のスライドの前半を読めばすべてを察することができます。

平面グラフと交通ネットワークのアルゴリズム from Takuya Akiba

www.slideshare.net

平面グラフには, 双対グラフと言うグラフを考えることができます。この問題は, 双対グラフの最小全域木を求める問題に帰着できますが, この双対グラフを直接作るのは面倒なのでなんとかそのままのグラフのまま処理したいです。

ところで, 平面グラフとその双対グラフの間の全域木には関係があり, 「もとのグラフの全域木の辺をその双対グラフで取り除くと, 双対グラフでは全域木になる」という性質があります。これを考えると, もとのグラフで最大全域木を求めれば, 辺のコストの合計 - 最大全域木のコストの合計 が答えであることがわかります。

struct UnionFind {
    vector<int> par;
    int n, cnt;
    UnionFind(const int& x = 0) {init(x);}
    void init(const int& x) {par.assign(cnt=n=x, -1);}
    inline int find(const int& x) {return par[x] < 0 ? x : par[x] = find(par[x]);}
    inline bool same(const int& x, const int& y) {return find(x) == find(y);}
    inline bool unite(int x, int y) {
        if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return false;
        --cnt;
        if (par[x] > par[y]) swap(x, y);
        par[x] += par[y];
        par[y] = x;
        return true;
    }
    inline int count() const {return cnt;}
    inline int count(int x) {return -par[find(x)];}
};

struct Edge {
    int u;
    int v;
    double cost;
    Edge() {}
    Edge(int u, int v, double cost) : u(u), v(v), cost(cost) {}
    bool operator<(const Edge& rhs) const {return cost < rhs.cost;}
};

int square(int x) {return x*x;}

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    vector<int> X(N), Y(N);
    for (int i = 0; i < N; i++)
        cin >> X[i] >> Y[i];
    vector<Edge> es;
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        int p, q;
        cin >> p >> q;
        p--; q--;
        es.emplace_back(p, q, sqrt(square(X[p]-X[q])+square(Y[p]-Y[q])));
        sum += es.back().cost;
    }
    sort(es.rbegin(), es.rend());
    double minus = 0;
    UnionFind uf(N);
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        Edge e = es[i];
        if (uf.same(e.u, e.v)) continue;
        uf.unite(e.u, e.v);
        minus += e.cost;
    }
    printf("%.10lf\n", sum-minus);
    return 0;
}