yukicoder No.181 A↑↑N mod M
yukicoderに途中まで参加していました。2問目に日本語の問題で引っかかって1問目と3問目の2完でした。
問題:No.181 A↑↑N mod M - yukicoder
解法:Mの値が小さいのでなんとなくMの周期について考えられそうな気がします。ただし正直にa^NをMで割ったあまりをそのまま考えても意味がありません。なぜなら,a^N=a^(N mod m) (mod m)とは限らないからです。しかし,modの周期性を考えると,a^N=a^(N mod phi(m)) (mod m)は成り立ちます。(phi(m)はファイ関数。以下のリンクを参照。オイラーのφ関数 - Wikipedia)
ファイ関数にはa^(phi(m))=1(mod m)という性質があるので,周期phi(m)で考えると,答えがわかってきます。要するに,A↑↑N mod mの値を求めるには,A↑↑(N-1) mod phi(m)の値を求めてそれを計算すれば良いということになります。
使ってる関数名は解説(yukicoder)と同じなのでそちらも参考にして下さい。なんかH(a, n, m)の関数の最後に3000+(()-3000)% mod みたいな感じのところが個人的にはよくわからないのですが,そうしないと通りません。
以下ソースコード
const int MAXN = 3000; int phi[MAXN]; void initPhi() { for (int i = 0; i < MAXN; i++) phi[i] = i; for (int i = 2; i < MAXN; i++) { if (i == phi[i]) { for (int j = 1; i*j < MAXN; j++) { phi[i*j] -= phi[i*j]/i; } } } } ll check(ll A, ll N) { if (A==1) return 1; ll ret = 1; for (int i = 0; i < N; i++) { ll tmp = ret; ret = 1; for (int j = 0; j < tmp; j++) { ret *= A; if (ret > 3000) return 3000; } } return ret; } // a^p mod mを求める ll modpow(ll a, ll p, ll m) { if (a == 0) return 0; if (p == 0) return 1; if (p%2 == 0) { ll tmp = modpow(a, p/2, m); return tmp*tmp % m; } else { return a*modpow(a, p-1, m) % m; } } // a^^n mod mを求める ll H(ll a, ll n, ll m) { if (m == 1) return 0; if (n == 0) return 1; ll tmp = check(a, n); if (tmp < 3000) return tmp%m; return modpow(a, 3000+(H(a, n-1, phi[m])-3000)%phi[m], m); } int main() { initPhi(); ll A, N, M; cin >> A >> N >> M; if (M == 1) { cout << 0 << endl; } else if (N == 0 || A == 1) { cout << 1 << endl; } else { cout << H(A, N, M) << endl; } return 0; }