IndiaHacks 2016 - Online Edition D. Delivery Bears

問題

codeforces.com

解法

もう問題から「最大流使って下さい」というにおいがプンプンします。

答えを二分探索して, 各辺について「くまが何匹通れるか」というのを cap にします。この時, 頂点 0 から頂点 n-1 へのフローが x 以上であるならば, すべてのくまが n-1 まで行けるということなので, それが答えです。

一つ注意で twitter で話題になっていたのが, オーバーフローです。「くまが何匹通れるか」は割り算で決まりますが, 二分探索する double の値が非常に小さい場合(この問題の場合 10^-6 はあり得る), 割り算の結果を整数で管理しようとすると死んでしまいます。min(x, c/med) とかやると最高でも辺の cap は x になるので安心です。

// Dinic法:最小カット,最大フローで使う
// 使い方: Dinic* dinic = new Dinic(V)で初期化(Vは頂点数)
// dinic->add_edgeまたはdinic->add_edge_bothで点をつなげてdinic->max_flowで最大フローを求める
#define NG -1
#define SZ(a) ((int)((a).size()))
class Dinic
{
public:
    Dinic(int input_maxv) : maxv(input_maxv)
    {
        G.resize(input_maxv);
        level.resize(input_maxv);
        iter.resize(input_maxv);
    }

    void add_edge_both(int from, int to, int cap)
    {
        const int rev_from  = SZ(G[from]);
        const int rev_to    = SZ(G[to]);
        G[from].push_back(edge(to,cap,rev_to));
        G[to].push_back(edge(from,cap,rev_from));
    }

    void add_edge(int from, int to, int cap)
    {
        const int rev_from  = SZ(G[from]);
        const int rev_to    = SZ(G[to]);
        G[from].push_back(edge(to,cap,rev_to));
        G[to].push_back(edge(from,0,rev_from));
    }

    int max_flow(int s, int t)
    {
        int flow = 0;
        for(;;)
        {
            bfs(s);
            if(level[t]<0) break;
            fill(iter.begin(),iter.end(),0);
            int f;
            while( (f=dfs(s,t,DINIC_INF))>0)
            {
                flow += f;
            }
        }

        return flow;
    }

    vector <bool> get_nodes_in_group(int s)
    {
        vector <bool> ret(maxv);

        queue<int> que;
        que.push(s);
        while(!que.empty())
        {
            int v = que.front();
            que.pop();
            ret[v]=true;

            for(int i=0;i<SZ(G[v]);i++)
            {
                edge &e = G[v][i];
                if(e.cap>0 && !ret[e.to])
                {
                    que.push(e.to);
                }
            }
        }
        return ret;
    }

    void disp()
    {
        for (int v = 0; v < maxv; v++)
        {
            printf("%d:",v);
            for(int i=0;i<SZ(G[v]);i++)
            {
                if(G[v][i].init_cap>0)
                {
                    printf("->%d(%d),",G[v][i].to,G[v][i].init_cap);
                }
            }
            printf("\n");
        }
    }

private:
    void bfs(int s)
    {
        fill(level.begin(),level.end(),NG);
        queue<int> que;
        level[s]=0;
        que.push(s);
        while(!que.empty())
        {
            int v = que.front();
            que.pop();
            for(int i=0;i<SZ(G[v]);i++)
            {
                edge &e = G[v][i];
                if(e.cap>0 && level[e.to]<0)
                {
                    level[e.to] = level[v] + 1;
                    que.push(e.to);
                }
            }
        }
    }

    int dfs(int v, int t, int f)
    {
        if(v==t) return f;
        for (int &i=iter[v];i<SZ(G[v]);i++)
        {
            edge& e = G[v][i];
            if(e.cap>0 && level[v]<level[e.to])
            {
                int d = dfs(e.to, t, min(f, e.cap));
                if(d>0)
                {
                    e.cap -= d;
                    G[e.to][e.rev].cap += d;
                    return d;
                }
            }
        }
        return 0;
    }

    static const int DINIC_INF = INT_MAX;

    struct edge
    {
        edge(int input_to, int input_cap, int input_rev) : to(input_to), cap(input_cap), rev(input_rev), init_cap(input_cap) {}
        int to;
        int cap;
        int rev;
        int init_cap;
    };

    int maxv;
    vector < vector <edge> > G;
    vector < int > level;
    vector < int > iter;

};

const int MAXM = 555;
int a[MAXM], b[MAXM], c[MAXM];
int n, m, x;

bool ok(double med) {
    Dinic dinic(n);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        double tmp = min<double>(c[i]/med, x+1);
        dinic.add_edge(a[i], b[i], tmp);
    }
    return dinic.max_flow(0, n-1) >= x;
}

int main() {
    cin >> n >> m >> x;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
        a[i]--; b[i]--;
    }
    double low = 1e-6, high = 1e6;
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        const double med = (high+low)/2;
        if (ok(med)) low = med;
        else high = med;
    }
    printf("%.10lf\n", high*x);
    return 0;
}