AtCoder Regular Contest 050 C - LCM 111

問題

arc050.contest.atcoder.jp

解法

「1 を A 個並べた数」を one(A) と書くことにします。

この問題では one(A) と one(B) の最小公倍数を求めたいですが, そのためにとりあえず最大公約数を求めることを考えます(A < B としておきます)。
one(B) を one(A) で割った余りを考えると, one(B%A) となります(これは割り算の筆算をイメージすると自明)。このことからユークリッドの互除法的に考えると, one(B) と one(A) の最大公約数は one(gcd(A, B)) となります。

ということで, 答えは one(A) * one(B) / one(gcd(A, B)) であることがわかりましたが, この問題では M が素数でないこともあるので逆元を使うことは出来ません。そこで, one(B)/one(gcd(A, B)) を直接求め, one(A) と直接掛け算することを考えましょう。

とりあえず one(A) を求めることを考えます。一般に,
one(i+1) = one(i)*10 + 1
が成り立ち, one(X) は行列累乗で高速で計算できます。
mayokoex.hatenablog.com

one(B)/one(gcd(A, B)) を求める場合は, 上で "10" となっているところが, "10^(gcd(A, B))" となるだけです。最初にこの累乗の値を計算してから, 行列累乗に突っ込みます。

typedef long long number;
typedef vector<number> vec;
typedef vector<vec> matrix;

ll mod_pow(ll x, ll p, ll MOD) {
    ll a = 1;
    while (p) {
        if (p%2) a = a*x%MOD;
        x = x*x%MOD;
        p/=2;
    }
    return a;
}

// O( n )
matrix identity(int n) {
    matrix A(n, vec(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i) A[i][i] = 1;
    return A;
}
// O( n^3 )
matrix mul(const matrix &A, const matrix &B, const ll MOD) {
    matrix C(A.size(), vec(B[0].size()));
    for (int i = 0; i < (int)C.size(); ++i)
        for (int j = 0; j < (int)C[i].size(); ++j)
            for (int k = 0; k < (int)A[i].size(); ++k) {
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
                C[i][j] %= MOD;
            }
    return C;
}
// O( n^3 log e )
matrix pow(const matrix &A, ll e, const ll MOD) {
    if (e == 0) return identity(A.size());
    if (e == 1) return A;
    if (e % 2 == 0) {
        matrix tmp = pow(A, e/2, MOD);
        return mul(tmp, tmp, MOD);
    } else {
        matrix tmp = pow(A, e-1, MOD);
        return mul(A, tmp, MOD);
    }
}

int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    ll A, B, M;
    cin >> A >> B >> M;
    if (A > B) swap(A, B);
    ll G = __gcd(A, B);

    // b
    matrix mat(2, vec(2));
    mat[0][0] = mod_pow(10, G, M), mat[0][1] = 1;
    mat[1][1] = 1;
    mat = pow(mat, B/G, M);
    ll b = mat[0][1];

    // a
    mat[0][0] = 10, mat[0][1] = 1;
    mat[1][0] = 0, mat[1][1] = 1;
    mat = pow(mat, A, M);
    ll a = mat[0][1];

    cout << a*b%M << endl;
    return 0;
}