Codeforces Round #343 (Div. 2) E. Famil Door and Roads

問題

www.codeforces.com

解法

kmjp さんの解法を参考にしました。

kmjp.hatenablog.jp

まず, この問題では 「グラフに辺を 1 本加えた時出来る閉路について, 特に u, v を含む閉路の平均長」を求める問題であることに注意します。depth[u] < depth[v] (つまり u のほうが v より上側にある)としましょう。

• u, v の lca が u に等しくない時

下の図の様になっているということですが, この場合は u, v を含む閉路を作るには, 結ばれる辺の各頂点は, それぞれ u の部分木の頂点, v の部分木の頂点になります。図に書いてあるような x, y を求められればよいですが, これは
depthSum[u] = (u と, u 以下の部分木の各頂点との距離の合計) というのと, subSize[u] = (u 以下の部分木のグラフのサイズ)というのが分かっていれば求められます。

• u, v の lca が u に等しい場合

この場合がわかりませんでした。

これを求めるためには, まず前準備として parDepthSum[v] = (頂点 v と, v の部分木の頂点以外の頂点との距離の和) というのが必要になります。これがわかると, 以下のようにして答えがわかります。

• まず, u の子のうち, それを辿って行くと v に到達する頂点を w とする
• u, v を含む閉路を作るためにありえるのは,
  • v 側は上と同じように v の部分木から一つ頂点を選ぶ
  • u 側は, w の部分木以外の頂点
• よって, 答えは parDepthSum[w] / (n-subSize[w]) + dist(u, v) + depthSum[v] / subSize[v]

閉路だから dist(u, v) に +1 しないとダメじゃね, と思うかもしれませんが parDepthSum[w] を使ってるので自動的に距離が 1 足されていることに注意です。

後はparDepthSum[v] を求められれば OK です。dfs2 でやっていることですが, v について parDepthSum[v] を求め, それをもとに他の子頂点 ch に結果を伝搬させる感じです。具体的なことは下の図を見て察して下さい。

vector<int> G[100010];
int parent[22][100010];
int subSize[100010];
ll depthSum[100010], parDepthSum[100010];
int depth[100010];
int n, m;

void dfs(int v, int p, int d) {
    subSize[v] = 1;
    parent[0][v] = p;
    depth[v] = d;
    for (int ch : G[v]) if (ch != p) {
        dfs(ch, v, d+1);
        subSize[v] += subSize[ch];
        depthSum[v] += depthSum[ch] + subSize[ch];
    }
}

void dfs2(int v, int p, ll sum) {
    parDepthSum[v] = sum;
    for (int ch : G[v]) if (ch != p) {
        ll sum2 = parDepthSum[v] + (n-subSize[v]);
        sum2 += depthSum[v] - (depthSum[ch]+subSize[ch]) + (subSize[v]-subSize[ch]);
        dfs2(ch, v, sum2);
    }
}

int lca(int u, int v) {
    if (depth[u] > depth[v]) swap(u, v);
    for (int k = 0; k < 20; k++) if ((depth[v]-depth[u])>>k&1) v = parent[k][v];
    if (u==v) return u;
    for (int k = 20-1; k >= 0; k--) {
        if (parent[k][u] != parent[k][v]) {
            u = parent[k][u];
            v = parent[k][v];
        }
    }
    return parent[0][u];
}

int getParent(int cur, int up) {
    for (int i = 0; i < 20; i++) if (up&(1<<i)) cur = parent[i][cur];
    return cur;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n-1; i++) {
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        x--; y--;
        G[x].push_back(y);
        G[y].push_back(x);
    }
    dfs(0, -1, 0);
    dfs2(0, -1, 0);
    for (int i = 0; i < 20-1; i++) {
        for (int v = 0; v < n; v++) {
            if (parent[i][v] < 0) parent[i+1][v] = -1;
            else parent[i+1][v] = parent[i][parent[i][v]];
        }
    }
    while (m--) {
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        x--; y--;
        if (depth[x] > depth[y]) swap(x, y);
        int lc = lca(x, y);
        auto f = [&] (int u) -> double {
            ll dist = depth[u] - depth[lc];
            ll sum = dist * subSize[u] + depthSum[u];
            return 1.*sum/subSize[u];
        };
        if (x == lc) {
            double ans = f(y);
            int par = getParent(y, depth[y]-depth[x]-1);
            ans += 1.*parDepthSum[par] / (n-subSize[par]);
            printf("%.12lf\n", ans);
        } else {
            double ans = 1 + f(x) + f(y);
            printf("%.12lf\n", ans);
        }
    }
    return 0;
}