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mayoko’s diary

プロコンとかいろいろ。

yukicoder No.391 CODING WAR

yukicoder

この問題とは関係ないですが Typing War は楽しいです。
trap.tokyotech.org

解法

包除原理で解きます。

N 人が M 問のいずれかに担当する場合の数は M^N 通りです。ですが, これだと N 人が M-1 種類以下の問題にしか割り当てられていない場合を考慮してないです。なので, comb[M][M-1] * (M-1)^N を引いて, ... というイメージです。

まとめると, 「N 人が i 問以下の問題に割り当てられる場合の数」というのを M-i が偶数なら +, 奇数なら - して足しこんでいけば良いです。

const int MOD = 1e9+7;

ll mod_pow(ll x, ll p, ll MOD) {
    ll a = 1;
    while (p) {
        if (p%2) a = a*x%MOD;
        x = x*x%MOD;
        p/=2;
    }
    return a;
}

// mod_inverse
ll mod_inverse(ll a, ll m) {
    return mod_pow(a, m-2, m);
}
const int MAXM = 100100;

int H[MAXM];
ll fact[2*MAXM], rfact[2*MAXM];

ll nCr(int n, int r) {
    ll ret = fact[n];
    (ret *= rfact[r]) %= MOD;
    (ret *= rfact[n-r]) %= MOD;
    return ret;
}

int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    fact[0] = rfact[0] = 1;
    for (int i = 1; i < 2*MAXM; i++) {
        fact[i] = (fact[i-1]*i)%MOD;
        rfact[i] = mod_inverse(fact[i], MOD);
    }

    ll N;
    int M;
    cin >> N >> M;
    if (N < M) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= M; i++) {
        ll tmp = nCr(M, i) * mod_pow(i, N, MOD)%MOD; 
        if ((M-i)%2 == 0) ans += tmp;
        else ans -= tmp;
        ans = (ans+MOD)%MOD;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}