yukicoder No.270 next_permutation (1)

勉強になりました。

問題

解法

next_permutation の実装で, swap されるものをメモしておいて, 変化した分を適当に足しこんでいけば良いです。
next_permutation の実装は以下を参考にしましょう。英語ですがそんなに難しくないです。
Permutation - Wikipedia, the free encyclopedia

ところで, next_permutation のならし計算量が O(1) というのがよくわからなかったのでちょっと考えてみました(言ってることが正しいのかはよくわかりません)。

とりあえずソースコードの my_next_permutation() を読みます。
計算量が少なくなる理由は, 「ソース内の k がほとんど n-2 付近に固まるから」だと思います。
例えば 1 2 3 4 という数列を考えます。この時, 一番最初の 1 が 2 に入れ替わるのは, 6 回目の next_permutation の時ですよね。要するに k が一番深くなって(k = 0)計算量が O(N) になるのは, 6 回に 1 回ということです。

これを一般的に言うと, 深さが p のところ(k=n-p となる)をいじる回数は (n-p-1)! に 1 回になるということです(±1 とかはずれてるかもです)。
つまり, next_permutation の n! 回の施行では,

計算を n 回しているようなもの: (n-1)! 回に 1 回
計算を n-1 回しているようなもの: (n-2)! 回に 1 回
計算を n-2 回しているようなもの: (n-3)! 回に 1 回
...
計算を 1 回しているようなもの: 1! 回に 1 回

ぐらいの回数計算しているということですね。よって, ならし計算量は
n/(n-1)! + (n-1)/(n-2)! + ... + 2/1! + 1/0!
みたいな感じになると考えられます。アバウトに考えるとこれは

n/n! + (n-1)/(n-1)! + ... + 1/1! = 1/(n-1)! + 1/(n-2)! + ... + 1/2! + 1/1!

です。一般に (n-1)! >= 2^n なので, これは収束します。よって, ならし計算量は O(1) になるんじゃないでしょうか。
ただ anta さんの解説によると N 回のならし計算量も O(1) になるとの事なので, これだと(この考えが正しいとしても)不十分です(ここで言ってるのは N! 回のならし計算量が O(1) ということなので)。うーん…

bool my_next_permutation(const vector<int>& p, vector<pii>& swaps) {
    swaps.clear();
    int n = p.size();
    int k = n-2;
    for (; p[k] >= p[k+1] && k >= 0; k--);
    if (k >= 0) {
        int l = n-1;
        for (; p[l] < p[k]; l--);
        swaps.emplace_back(k, l);
    }
    int low = k+1, high = n-1;
    while (low < high) {
        swaps.emplace_back(low++, high--);
    }
    return k >= 0;
}

int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int N, K;
    cin >> N >> K;
    vector<int> p(N), B(N);
    for (int i = 0; i < N; i++) cin >> p[i];
    for (int i = 0; i < N; i++) cin >> B[i];
    vector<pii> swaps;
    ll ans = 0, now = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        ans += abs(p[i]-B[i]);
    }
    now = ans;
    if (K == 0) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    K--;
    while (K--) {
        my_next_permutation(p, swaps);
        for (pii pp : swaps) {
            now -= abs(p[pp.first] - B[pp.first]);
            now -= abs(p[pp.second] - B[pp.second]);
            swap(p[pp.first], p[pp.second]);
            now += abs(p[pp.first] - B[pp.first]);
            now += abs(p[pp.second] - B[pp.second]);
        }
        ans += now;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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