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mayoko’s diary

プロコンとかいろいろ。

yukicoder No.330 Eigenvalue Decomposition

yukicoder
解法

行列 A の (ak, bk) 成分及び (bk, ak) 成分が 0 のとき, 頂点 ak と bk の間に辺を結ぶ, ということをすると, この問題の答えは, グラフ上の連結成分の個数になります。

証明については以下が参考になりそうです。
lab.adn-mobasia.net

struct UnionFind {
    vector<int> par;
    int n, cnt;
    UnionFind(const int& x = 0) {init(x);}
    void init(const int& x) {par.assign(cnt=n=x, -1);}
    inline int find(const int& x) {return par[x] < 0 ? x : par[x] = find(par[x]);}
    inline bool same(const int& x, const int& y) {return find(x) == find(y);}
    inline bool unite(int x, int y) {
        if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return false;
        --cnt;
        if (par[x] > par[y]) swap(x, y);
        par[x] += par[y];
        par[y] = x;
        return true;
    }
    inline int count() const {return cnt;}
    inline int count(int x) {return -par[find(x)];}
};

int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    UnionFind uf(N);
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        a--; b--;
        uf.unite(a, b);
    }
    cout << uf.count() << endl;
    return 0;
}

問題見た直後, 数値解析の教科書を引っ張り出してきたけど, 固有値が 0 になる個数ってランクでわかるじゃん, と思ってなんとなく連結成分で出したら通りました。